前言



第1章　疑惑與歷史

1-1 向量常見的疑惑　

1-2 數學與物理的關係　

1-3 數學的歷史　

1-4 太多新的定義　

1-5 向量的教學順序令人困惑　



第2章　傳統解析幾何

2-1 笛卡兒的平面座標　

2-2 平面座標系的直線方程式(1)：由來　

2-3 平面座標系的直線方程式(2)：斜截式　

2-4 平面座標系的直線方程式(3)：點斜式、截距式　

2-5 平面座標系的直線方程式(4)：兩點式　

2-6 平面座標系的直線方程式(5)：參數式　

2-7 空間座標系的平面方程式(1)：由來　

2-8 空間座標系的平面方程式(2)：表示方法　

2-9 空間座標系的直線方程式　

2-10 平面座標系的兩直線夾角　

2-11 空間座標系的兩直線夾角　

2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題　

2-13 平面座標系的點到線的距離(1)：畢氏定理　

2-14 平面座標系的點到線的距離(2)：三角函數　

2-15 平面座標系的點到線的距離(3)：參數式　

2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離　

2-17 空間座標系的點到面的距離　

2-18 各個平行情況的距離　

2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離　

2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式　

2-21 空間座標系的兩平面夾角　

2-22 整合此章的數學式　

2-23 參數式的起源：拋物線　



第3章　行列式

3-1 解聯立方程式：兩變數　

3-2 解聯立方程組：三變數　

3-3 行列式的運算(1)：二階　

3-4 行列式的運算(2)：三階　

3-5 克拉碼行列式求平面方程式　

3-6 二階行列式與面積關係　

3-7 三階行列式與體積關係　

3-8 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(1)　

3-9 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(2)　



第4章　高斯列運算

4-1 加減消去法與列運算(1)：兩變數　

4-2 加減消去法與列運算(2)：三變數　

4-3 高斯列運算求平面方程式　



第5章　向量在物理的意義

5-1 向量在物理的意義　

5-2 功與內積　

5-3 力矩與外積　

5-4 向量的定義　

5-5 向量的基礎計算(1)　

5-6 向量的基礎計算(2)　

5-7 向量的基礎計算(3)　

5-8 正射影與正射影長　

5-9 向量與藝術：投影幾何　

5-10 向量數學式總結　



第6章　向量改變數學的教法

6-1 數學的夾角與內積　

6-2 向量與平面上的直線方程式關係　

6-3 數學的平面方程式係數與外積(1)：解析幾何方法　

6-4 數學的平面方程式係數與外積(2)：法向量與力矩　

6-5 數學的平面方程式係數與外積(3)：法向量怎麼求　

6-6 利用向量求平面上點到線的距離　

6-7 利用向量求空間中點到平面的距離　

6-8 利用向量表示傾斜程度（斜率）　

6-9 向量與柯西不等式(1)：如何證明　

6-10 向量與柯西不等式(2)：柯西不等式與配方法的關係　

6-11 向量與柯西不等式(3)：如何記憶　

6-12 利用向量與二階行列式，求平面座標系的三角形面積　

6-13 利用向量與三階行列式，求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　

6-14 利用向量與二階行列式，求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　

6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」　

6-16 三角錐體積與行列式(1)：拉格朗日　

6-17 三角椎體積與行列式(2)：向量方法　

6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積　

6-19 空間座標系的點到線的距離(1)　

6-20 空間座標系的點到線的距離(2)　

6-21 歪斜線的向量討論(1)　

6-22 歪斜線的向量討論(2)　

6-23 三垂線定理的討論　

6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式　

6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理　

6-26 計算三角形重心　

6-27 計算三角形內心(1)：向量方法　

6-28 計算三角形內心(2)：傳統解析幾何　

6-29 外心、垂心的向量性質　

6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法　

6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面　

6-32 三度空間的角平分線　



第7章　向量從物理到數學，再回到物理

7-1 物理數學家與數學物理家　

7-2 向量對數學的意義　

7-3 數學與物理互相幫助



第8章　矩陣

8.1 動畫的由來(1)　

8-2 動畫的由來(2)　

8-3 動畫的由來(3)　

8.4 矩陣的由來　

8-5 矩陣的運算(1)：二階矩陣PART1　

8-6 矩陣的運算(2)：二階矩陣PART2　

8-7 矩陣的運算(3)：二階矩陣PART3　

8-8 矩陣的運算(4)：三階矩陣　

8-9 矩陣的運算(5)：二階矩陣的反矩陣的由來　

8-10 矩陣的運算(6)：三階矩陣的反矩陣的由來與記法　

8-11 矩陣的應用(1)：轉移矩陣的概念　

8-12 矩陣的應用(2)：如何求轉移矩陣　

8-13 矩陣的應用(3)：血型的轉移矩陣

　

第9章　總結

9-1 相關歷史　

9-2 結論　



附錄

附錄1.為什麼負負得正呢？　

附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣？　

附錄3.配方法與雙重配方法　

附錄4.相關聯結　

前言



　　本書是針對高中生學習「向量」時，產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念，造成學生極大的困惑，並誤以為僅能經由功、力矩的概念，才能推導出向量的內積與外積，這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是：



　　1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念，就沒有「內積」和「外積」嗎？



　　2. 沒有「內積」和「外積」，就不能將解析幾何，由二度空間推廣到三度空間嗎？



　　3. 為什麼會用物理概念來推論數學，不是說數學是科學的語言嗎？



　　有鑑於此，作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念，就能夠推廣至三度空間，只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念，並啟發了數學家。換句話說，物理為了正確描述力學現象，建立一套數學語言，而後由數學家接手，建構了向量分析、線性代數，及希爾伯特空間（Hilbert Space），也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂，誤會數學需要物理，事實上數學不需借助外力，本身就可說明清楚，也就是自圓其說。



　　作者在本書所要釐清的重點是：



　　1. 高中數學使用向量學習三度空間內容，是因為比傳統方法簡潔，而非必要，這個重點應該讓學生清楚知道，並讓學生知道數學不該存在破綻，一門演繹邏輯的科目，不該被誤解為歸納邏輯。



　　2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明，徹底去除學生因課本的陳述方式，所產生的歷史錯亂與困惑感，如：柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題，本書將不屬於向量範疇的內容移除，以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容，並了解傳統解析幾何就足以推導，但較為繁瑣，必須知道不用借助向量也可以推導。



　　3. 點出數學與物理之間的關係，數學是物理的語言，數學可以和物理緊密相關，也可能亳不相關。然而有趣的是，表面上和物理不相關的數學，竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家Eugene Wigner有名的論述：「在自然科學中，數學不可理喻的有效性。」原文是：「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。



　　4. 了解內積、外積在數學、物理兩方的關係，而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」，其運算動作都稱為「內積」；數學「平面方程式係數」會對應到物理的「力矩」，其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式，大抵如下述：內積直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。外積用公垂向量解釋外積，或直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。本書詳細說明向量在數學及物理的歷史發展，並說明數學支撐物理。



　　5. 認識向量是基礎數學和基礎物理的交界點之一，高中數學從物理應用切入三度空間的數學，導致許多學生產生困惑。雖然數學和物理有錯綜複雜的關係，但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言，而物理是建構在歸納邏輯的自然科學，只是用數學語言來表達，物理與數學兩者高度相關，但不相同。作者將所有產生困惑的原因全面清理，期望學生或教師們終能理解。



　　6. 如果不說明清楚向量概念的原由，將失去一次可以說明數學與物理之間的關係（另一次是拋物線的內容）。而數學與物理之間的關係，實際上是數學支撐物理，而不是物理來說明數學。如果不了解兩者關係，使得有一部分的人將數學當作物理，也就是誤會數學公式如同物理公式一般，會隨著時代被修正，也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。



　　作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢，而非死背定義。現行教科書用向量作為定理來說明解析幾何，也就是用物理概念強迫學生學向量，再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義，若要死背公式（內積）來硬套數學題目，必然會令學習者相當困惑。



　　但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣，所以也不希望完全走回原本的老路，最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積，用公垂向量來說明外積，避開物理概念的硬套，才能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來，為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明了物理為什麼需要創造向量與內積、外積。



　　作者之一多年來，在求學與教學深受上述問題困擾，因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。作者認為死背定義的數學學習方式，或說不清楚的數學，根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯，不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將向量產生的疑惑納入討論，希望學生不再有困惑，心裡不再存在疙瘩。



　　本書詳述了非常多的細節部分，但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」，想要快速解除困惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9，至於細節部分可以斟酌跳過。



　　「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構，那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過，例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。」



　　徐一鴻，華裔美國物理學家



　　本書雖經多次修訂，缺點與錯誤在所難免，歡迎各界批評指正，得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者，作者信箱praxismathwu@gmail.com