作者序一�吳秉翰

作者序二�吳作樂

前言

導讀



CH 1 認識數系

1-1正整數及基礎運算

1-2有理數（分數）及基礎運算

1-3小數、負數與0及基礎運算

1-4無理數及基礎運算

1-5實數、虛數與複數

1-6實數的性質



CH 2 進階運算規則

2-1絕對值

2-2指數

2-3對數

2-4第三個特別的無理數：歐拉數e



CH 3 代　數

3-1未知數與等量公理、及移項法則

3-2平面座標系、聯立方程式與直線方程式

3-3一元二次方程式、參數式、拋物線、與配方法

3-4數列與級數、一般式與遞迴式



CH 4 幾　何

傳統幾何

4-1基礎幾何概念

4-2幾何證明

4-3圓周率的祕密、第二個神奇的無理數π傳統幾何到解析幾何

4-4三角函數與圓

4-5圓錐曲線與二次方程式



CH 5 複　數

5-1複數的運算與複數平面

5-2隸美弗定理與複數的極式

5-3歐拉的寶石：歐拉方程式

5-4淺談泰勒級數與傅立葉級數



CH 6 函數

6-1函數在生活上應用

6-2函數是什麼



CH 7 數學與藝術

7-1第一個神奇的無理數：黃金比例Φ

7-2大自然的黃金比例螺線

7-3碎形藝術與大自然及碎型典故

7-4極座標作圖

7-5代數曲線的藝術

7-6投影幾何



CH 8 結論—數學不好，不是你的錯

8-1數學恐懼症

8-2數學教育該怎麼做？先學唱歌再看譜

8-3結論

作者序二



　　1941年，德裔美國數學家Richard Courant（1888-1972）與當年26歲的美國數學家，統計學家Herbert Robbins（1915 -2001）共同撰寫了《What is Mathematics？》這本迄今仍很熱門的數學書。



　　1978年，作者是哥大（Columbia University）數理統計系的博士生，當時教我統計及數學素養的正是Herbert Robbins教授，在他特有的「諷刺且幽默」的風格下，我終於領會到數學之美，而不再僅限於「數學很有用」這種膚淺的看法。1979年台灣發生美麗島事件，作者當時是哥大台灣同學會會長，與紐約台灣同鄉會一起帶同學上街示威遊行。Robbins教授知悉後對我說「反正你目前無心寫論文，不如專心去搞你的台灣學生運動，一年後再回來專心作論文」。這就是Robbins教授的風格。



　　《What is Mathematics？》這本書雖然很熱門，但畢竟是寫給喜愛數學或工程的學生或教師看的。有鑑於此，作者想從不同的角度，讓國、高中學生能快速體會數學之美，進而去除對數學的恐懼或焦慮，同時也提供國、高中數學老師一些有用的補充教材，能在課堂上向學生展現數學之美，使學生明白數學絕對不是學校或補習班所呈現的一連串無聊的例題和測驗卷。基於上述的信念，作者將從幾個不同面向來敘述國、高中數學：



　　1. 數學教育不該著重解題技巧及多作各種題型以利考試拿高分，數學教育的目的應是建立學生徹底了解及獨立思考的能力，而非以「考試拿高分」為目的。本書特別強調「徹底的了解」在數學上的重要性，因為我親身經歷太多了解數學近90%，而未達100%（徹底了解）的台灣高材生（數學成績一流的教授和工程師），當遇到不曾見過的實際數學問題時，卻無法獨立思考的窘境。因此，本書將重點放在數學概念的徹底了解及隨時能獨立思考的例題。



　　2. 多數人將數學認知為「研究數字的學問」，因而導致許多家長讓小孩從小學珠算或心算，期盼他們未來數學會學得好。這是普遍對數學的誤解，數學不僅是「研究數字的學問」，它更基本的內容是「研究數字，形態（pattern）及邏輯結構的學問」。本書的重點在於說明數字、及圖形形態變化及相關的邏輯關係。因此將純粹計算的內容減至最少，將所謂公式（就是由公理推導出的定理）也減至最少，徹底破除學好數學要背很多公式的錯誤教法及想法。



　　3. 社會謬誤常將數學好不好和聰不聰明劃上等號，但是，近代心理學家已不再相信20世紀初期開始，延用至今僅測試抽象概念能力的IQ測驗和聰明程度有極度相關。當然，天生數學較好的學生顯示他對抽象概念掌握能力佳，僅此而已。至於數學不好的學生頂多只顯示他的抽象概念掌握能力有待加強，與聰明程度不相關！難道，我們會認定一個五音不全（音感不佳）的人就是不聰明嗎？



　　作者深信，數學的學習內容顯然不該僅限於數學本身，應該將數學與人類文明發展歷程的關連清楚地呈現出來，而非僅限於計算與推理。事實上，很多家長與教師都誤以為數學僅是必要的科學工具，重點就是計算與推理，這種錯誤的看法與教法，直接導致大部分學生覺得數學既繁雜又難懂，只能死背大量「公式」以應付考試，不如乾脆放棄學習。為了糾正這種錯誤的大眾認知，本書的數學內容將盡可能與當時的歷史、藝術、及文明進展相連結。例如：三角相似形與希臘天文學的實際運用，幾何知識對近代繪畫及當代電腦動畫的貢獻，圓錐曲線如何促成克卜勒行星運動定律及牛頓力學，三角函數與近代通訊及音樂的深刻關連，近代數論成為密碼學的基礎，統計方法普遍應用於經濟學、社會學、心理學及醫學、且促成量子力學，以及非歐幾何學協助愛因斯坦完成相對論等。



　　4. 數學的理解和音樂有相似之處，兩者皆是較抽象的學問。然而卻有截然不同的學習過程，就音樂而言，先聽到（欣賞），再學看樂譜（抽象符號正確表達音高，旋律，和聲等）。換句話說，先聽到音樂，再學看譜與樂理，才容易學生學習。至於現代的數學教育，卻使用截然不同的過程：先學抽象符號（x, y, z）的計算規則及練習，之後再學習一些與實際應用未必相關的練習題，並稱之為「應用題」。這種情況不只充斥於國、高中數學課本，連大學的微積分課本也是如此。也就是說，現在的數學教育是：先學看譜和樂理，有沒有聽到音樂？以後自然會發生。



　　數學的理解和藝術有相似之處，如果學習繪畫是從三原色認識開始，再來介紹各個繪圖理論，最後進行作畫，豈不是會嚇跑學生，所以繪畫學習都是從隨意作畫開始，喜歡繪畫後，再進一步學習。同時要知道多數數學家都是由圖形來學習數學，而少部分才是由抽象的符號來學習數學，也就是數論。所以推論一般學生的數學抽象性應該相對更少，故更應該用更具體的教學來學習數學，如：先繪製數學圖案，有一定的感覺後，再學習數學，而非直接進入抽象的符號，這樣才能有助於學習數學。



　　為何學習音樂、藝術和數學有如此大的差異呢？作者認為有幾個原因：自18世紀以來，數學進展又多又快，迫使現今數學教育者必須在國、高中學生時代塞入比以前更多的數學知識，以面對全球科技競爭。在這種急功近利的情況下，數學被大多數人（含教師）狹義地理解成僅是科技進步的必備工具，因此老師經常對學生說：數學很重要，要認真學習，否則無法了解科學相關知識。這種壓迫性的說法反而造成很多學生的反彈：既然無趣又難懂，混過去即可，反正以後不當科學家或工程師就無所謂了。這種「數學恐懼或厭惡」的現象，舉世皆然。



　　近年來，由於芬蘭參與聯合國OECD的PISA（Programme for International Student Assessment）平均成績優異，造成很多國家思考如何重新修改數學教育。事實上，台灣學生的成績也很優異。但最大的差別是：芬蘭學生成績分布是所有參與國最集中（標準差最小），而台灣學生的成績分布卻是最分散的（標準差最大）。換句話說，芬蘭學生成績都差不多好，台灣學生卻是好的很好，差的很差。為何如此？



　　作者的解讀是芬蘭特別重視中小學的數學教育，因此教數學的老師都必須是數學學士或碩士。雖然芬蘭的方法未必適用於每個國家，然而確有可借鏡之處：將數學的應用融入當今環境。譬如說，世界的問題，由各國國旗上面不同色塊的大小學習分數的意義，由世界有名的高樓（如紐約帝國大廈，台北101大樓等）的圖像學習長度的「比例」概念。



　　本書採取不同的方式：先聽到音樂，再學看譜與樂理。也就是：先領會數學之美感，再學習數學的邏輯推理。數學常被認為是自然科學的一支，然而，數學固然是科學的語言，但其本質較相似於藝術創作。



　　本書將隨內容的進展配合人類文明的脈絡說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化深具想像力及美感的一部分，不但是培養邏輯唯一的道路，更是蘊育民主思想的園地。數學發展的歷史就是人類發展史：數學發展到哪裡，世界就進步到哪裡。



　　本書將從上述各面向，以別於傳統的方法來敘述數學，使一般未必喜好數學的國、高中學生能領會數學之美，引發學習動機，進而去除對數學的恐懼或焦慮。依作者的教學經驗，本書的非傳統方法確定有效。衷心建議國、高中生及相關教師勇於嘗試本書所揭示的新教材及新方法。



　　「錯誤數學教學的影響，就是讓一流人才變二三流。」

　　「好的數學教育可以培養人的邏輯性，進而帶動社會的邏輯進步。」

　　「不好的數學教育及過度的考試，會讓學生學習數學的感覺愈來愈倒胃口。」

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