序
啊，無窮！再也沒有其他的問題能如此深深觸及人類的精神面貌；也沒有其他的想法這麼有效的刺激人類的智慧，然而它卻是最需要澄清的觀念……──希爾伯特（David Hilbert, 1862–1943）
上面是引述自一位偉大的數學家希爾伯特的說法，他說了這麼一個故事：有一天晚上很晚，旅館裡來了一個人，要一間房間。「對不起，已經沒有空房了，」老闆接著說：「但我查查看，大概可以替你找個房間。」老闆離開櫃檯，勉強叫醒了房客，要他們換房間：1號房客換到2號房，2號房客換到3號房，如此類推，每間房間的客人都換到下一號房去。第1號房就空了下來給晚到的客人，他簡直不敢相信自己的運氣，快快樂樂進了房間安頓了下來。但一個惱人的問題讓他睡不著覺：為什麼房客只要移移房間，第一個房間就空了出來？（請注意啊，他到旅館時，所有房間都是住滿的。）客人恍然大悟：這一定是「希爾伯特旅館」，也就是本地人都知道的，有無窮間房間的旅館！只要把房客移到下一間房間，1號房就空了出來：
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這有名的故事大體點出了無窮的整個要意。這種引人入勝的弔詭，看起來不可能的情況，已經困惑人類兩千年。這種弔詭之根源在於數學，而數學也在其最後得以解決的過程中提供了最有用的辦法。讓無窮觀念得以澄清並解開其神祕面紗，要到二十世紀才足以竟全功，而且也不能說解決之道就此定於一尊。就像任一支科學一樣，數學也會一再發現不足之處，而再重新思考。一個謎題剛剛得解，另一個謎又在眼前。在科學上，以追求最終的理解為目標，其實是可望不可及的。但就是這種難以企及的特性，使得任一支科學都非常吸引人，數學當然也不例外。
許多思想家想過無窮的問題。一線段或一個量是否可以一直分割下去，或者會得到不可分割的點或「原子」，這樣的問題讓古希臘的哲學家議論不休。現代的物理學家，承繼過去的香火，還在為同樣的問題奮鬥，用巨大的粒子加速器來尋找「基本粒子」（意思是，整個宇宙就是由這些基石建造起來的）。天文學家則從尺度的另一極端──無窮大，來思考無窮的問題。宇宙是無窮大嗎？無論誰觀看著清朗的星空，似乎都會這麼想。還是宇宙有邊界，過了邊界就什麼都沒了？有限宇宙的想法似乎有違直觀，如果我們固定一個方向一直走，難不成會碰到「邊界」？各位往後就會知道，要了解無窮，直觀是個不好的指引。
藝術家也處理過無窮，他們把這個概念畫在畫布上，或寫成文字，而成了文學瑰寶。梵谷凝視著眼前一望無際的法國原野，說出：「我在凝視無窮。」巴斯卡（Blaise Pascal）以慣有的陰鬱眼光看世界，嘆道：「無窮空間的永恆寂靜使我深感恐懼。」而另一位學者布魯諾（Giordano Bruno），欣喜於宇宙無窮的想法而說出他的名言：「打開門窗，你可以看到無盡的蒼天。」為了這句話，他被逮捕，受到宗教裁判而判了死刑。
但無論如何看待無窮，最後總要回到數學，因為在這裡無窮的觀念有其最深的根源。有一種觀點說，數學就是研究無窮的科學。日本數學會編纂的《數學百科辭典》中，「無窮」、「無窮大」、「無窮小」等詞在索引中就出現不下五十次之多。事實上，如果沒有無窮觀念，很難想像數學還會存在，因為小孩子學數學的第一步，數算1、2、3…，就是假定每個數之後都有下一個數。幾何中最基本的觀念直線，也一樣基於類似的假定──理論上我們可以把直線的兩端一直延伸出去。就連在機率理論，這類看似關於「有限」的數學領域之中，無窮的觀念竟也扮演微妙的角色：擲一個銅板十次，可能得到五個正面五個反面，也可能六個正面四個反面，或其他的可能，但當我們說「擲出正面與反面的機率各半」，其實已經暗自假設了無窮次的丟擲會得到一半一半的結果。
我第一次遇到無窮，是在我還是小孩子的時候。有人給了我一本《哈加達》（也就是出埃及的故事），它的封面圖中有個小孩，手中拿的就是這本書。當我再看得真切，發現小孩手中那本《哈加達》的封面上出現同樣的畫面。很有可能，那個小畫面中的書封上也有這個畫面──不怎麼記得了。但我清楚記得有個想法一直縈繞在腦中：假如真的畫得出來圖中的圖中的圖……，可以沒完沒了！這種可能性實在有趣；當時我還太小，不知道有一位荷蘭藝術家艾雪（M. C. Escher，那時還沒什麼名氣），也深受同樣的想法吸引，把它表現在畫作中，在他技巧所及的範圍，盡量把這種重複的過程帶到極限。
許多年之後，我另有一次機會碰到無窮，一種情境完全不同的邂逅。有一天晚上，我在華府的康乃狄克大道逛街，無意中站在一座矗立於人行道上的大型抽象雕像面前。一塊銅牌標示這件作品的大名：「無窮之極限III」。它由一個巨大的銅環及繫於銅環兩端點的一個螺旋狀物所組成。拉長了的螺旋狀物似乎可以旋轉，所以我輕輕碰它一下，心想它會轉動起來。想不到一個暗藏的警鈴大作，尖銳的響聲著實把我嚇得半死。驚魂甫定，內心自忖道：「汝不可觸摸無窮！」
無窮的概念，帶給世世代代的人許多興奮與驚訝之情，在往後的各章裡，我試著把這些故事拿來與讀者分享。某種程度來說，我的故事是主觀的──我以數學家的觀點來說這故事，因而意味著，我得面對想為門外漢寫一本科普書的任何一位科學家都會有的迷惘：如何用非專家可了解的語言，把作者的意思呈現出來，同時又不會讓他的學術同行說他不夠嚴謹。就數學而言，這種迷惘更為深刻。
這本書是要給一般讀者看的，所以在文字間我盡可能不用「高深」的數學。（當然，熟悉一些基本代數絕對沒壞處。）一些特別的數學題材已經搬到附錄裡了，讓一般的討論內容保持流暢。大體而言，各章之間只有鬆散的連結，所以跳過少數幾章不讀並不礙事。如果讀者只想隨興瀏覽，也可以享受有關無窮的許多插畫與圖片，以及許許多多的名言佳句和詩文。
寫書時許多朋友幫了忙，我要感謝他們。尤其該感謝同事Wilbur Hoppe及Robert Langer，他們讀了手稿的大部分，提出了許許多多的建議；感謝Blagoy Trenev，我不斷的打擾他，問他用詞與寫作風格的問題；感謝Hilde Bacharach及Raffaella Borasi，他們告訴我兩首描述無窮的美詩；感謝Ruth Ollendorff，讓我讀了她的亡夫許多未發表的文章，我也把這本書題獻給已過逝的Franz Ollendorff教授；感謝Mary Besser，她編輯大部分的手稿，對最後的定稿也幫了很多忙；感謝Lynn Metzker，大部分的線圖是她畫的；感謝威斯康辛大學Eau Claire分校及密西根州的奧克蘭大學，他們給我兩筆經費，大大支援了我的工作；最後要感謝Birkhauser Boston出版社的編輯及製作群，經他們的特別努力，才使這本書得以出版。但更要特別感謝的是我的母親Luise Metzger，她長年下來給了我豐富的文化薰陶，還要感謝我的太太Dalia，有她的鼓勵與耐心，我才能在許多個夜晚把她冷落在家裡而留在辦公室裡寫書。要不是她們兩人的支持，這本書是不可能完成的。
最後一句附筆。在進行任何討論之前，數學家一定要說清楚他所用的符號。請大家注意，我在本書裡用的「他」字，泛指「他或她」。如果你認為我的用詞比較傳統，那只是為了簡潔的目的。
於密西根州，羅徹斯特
1986年6月13日
