第1章 線性代數緒論?

1-1 線性代數的內容?

1-2 線性代數的範疇?

1-3 純量、向量、矩陣與八元數的緣起?

1-4 向量與矩陣的關係?

1-5 線性代數的基本元素?

1-5-1 維度初探?

1-5-2 向量?

1-5-3 矩陣?

1-5-4 向量空間?

1-6 向量的維度、矩陣的維度與向量空間的維度?

1-7 增廣矩陣法?

1-8 線性代數的架構?



第２章 向量與矩陣?

2-1 向量和矩陣?

2-1-1 向量的運算?

2-1-2 矩陣的運算?

2-1-3 矩陣和向量的乘法運算?

2-1-4 矩陣分區?

2-1-5 向量與向量的乘積?

2-1-6 外積與線性映射?

2-1-7 矩陣與向量的乘積?

2-1-8 矩陣與矩陣的乘積?

2-2 矩陣相乘的四種圖像?

2-3 矩陣的跡?

2-4 基本矩陣?

2-5 逆矩陣和逆置操作?

2-6 逆矩陣的幾何解釋?

2-7 轉置操作?

2-8 置換矩陣?

2-9 對稱矩陣?

2-9-1 對稱矩陣的特性?

2-9-2 斜對稱矩陣（Skew symmetric matrix）的特性?

2-9-3 建構對稱矩陣的方法?

2-10 正交矩陣與正交歸一矩陣?

2-10-1 正交矩陣?

2-10-2 正交矩陣的特性?

2-10-3 正交轉換的特性?

2-10-4 對稱矩陣正交對角化的演算?

2-11 Hermitian矩陣?

2-12 么正矩陣?

2-13 冪零矩陣?

2-14 冪等矩陣?

2-15 正規矩陣?



第3章 解線性方程式的基礎?

3-1 樞軸變數與自由變數?

3-2 梯形矩陣、列梯矩陣和最簡列梯矩陣?

3-2-1 梯形矩陣?

3-2-2 列梯矩陣?

3-2-3 最簡列梯矩陣?

3-3 列簡化法?

3-4 樞軸變數與自由變數?

3-5 矩陣的LU分解與求解方程式?

3-5-1 主子式?

3-5-2 矩陣的LU分解?

3-5-3 A = LU和PA = LU?

3-5-4 LU分解的演算法?



第4章 線性方程組?

4-1 線性代數的幾何原理?

4-1-1 向量的幾何圖像?

4-1-2 線性方程組的幾何圖像?

4-2 線性幾何和線性方程組?

4-2-1 線性空間的交點?

4-2-2 向量的線性組合?

4-3 線性聯立方程組的四種圖像?

4-4 矩陣方程組的解?

4-5 解線性方程組的方法?

4-5-1 後向替代法?

4-5-2 求解線性方程組──LU分解?

4-5-3 求解線性方程組──Gauss-Jordan消去法?

4-6 最簡列梯矩陣與線性方程組的完整解?

4-7 一致的方程組與不一致的方程組?

4-8 方程組解和矩陣表示的關係?



第5章 向量空間?

5-1 向量空間與向量子空間?

5-2 函數和向量的關係?

5-3 向量子空間的交集與聯集?

5-4 矩陣的四個基本向量子空間?

5-5 向量子空間的維度?

5-6 四個基本向量子空間基底向量的定義?

5-6-1 由定義求四個基本向量子空間?

5-6-2 以圖像法求四個向量子空間?

5-6-3 以增廣矩陣法求四個向量子空間?

5-7 對偶空間?

5-8 正交補餘?



第6章 線性轉換與投影?

6-1 線性轉換?

6-2 線性變換與矩陣?

6-3 矩陣變換的幾何意義?

6-4 平面的線性變換的幾何學?

6-5 齊次座標?

6-6 正交投影?

6-7 Gram-Schmidt 過程?

6-8 投影矩陣?

6-8-1 正交投影矩陣?

6-8-2 投影矩陣的表示式?

6-8-3 有序基底?

6-9 改變基底向量的效應?

6-9-1 基底變化對向量表示的影響?

6-9-2 基底變化對線性轉換矩陣表示的影響?

6-10 基底變化對線性算符矩陣的影響?

6-11 QR 分解?

6-11-1 QR分解與求解方程式?

6-11-2 矩陣的QR分解?

6-11-3 矩陣A行向量是獨立的?

6-11-4 矩陣A行向量不是獨立的?

6-11-5 完整的QR分解?



第7章 行列式?

7-1 行列式的定義?

7-2 行列式的計算?

7-3 行列式的性質?

7-4 三個計算行列式值的方法?

7-4-1 行列式的樞軸法?

7-4-2 行列式的置換展開?

7-4-3 行列式的餘因數法?

7-5 行列式和幾何學?

7-6 Cramer 規則?

7-7 非齊次方程式和參數變化法?



第8章 本徵值與本徵向量?

8-1 本徵值與本徵向量?

8-2 本徵值和本徵向量的幾何意義?

8-3 幾何重根數與代數重根數?

8-4 本徵值的三個性質?

8-5 矩陣對角化?

8-6 相似轉換的重要特性?

8-7 矩陣的平方根?

8-8 矩陣可以被對角化的條件?



第9章 正定矩陣與應用?

9-1 範數?

9-2 波譜分解?

9-3 二次形式?

9-4 二次形式的矩陣的基底轉換規則?

9-5 主軸理論?

9-6 主軸的幾何學觀點?

9-7 正定矩陣?

9-8 Cholesky分解?

9-9 多變數梯度?

9-9-1 Rayleigh商的極值?

9-9-2 極大化極小原理與極小化極大原理?



第10章 不變子空間?

10-1 不變子空間?

10-2 廣義本徵向量初探?

10-3 塊狀三角形矩陣或塊狀對角矩陣的演算法?

10-4 不變子空間的圖像概念?

10-5 不變子空間的定義?

10-6 不變子空間的基底向量?

10-7 幾個重要的例子?

10-8 塊狀三角形矩陣?

10-9 由線性獨立向量延伸出一組基底的方法?

10-10 對角區塊形式與不變子空間的直和?



第11章 Jordan標準式?

11-1 複數與實數的差異?

11-2 向量空間的實數化和複數化?

11-2-1 複數?

11-2-2 複數向量?

11-2-3 複數向量空間?

11-2-4 複數向量矩陣的共軛?

11-2-5 複數向量矩陣?

11-2-6 複數線性轉換?

11-3 實數矩陣的複數可對角化與複數不可對角化?

11-3-1 複數可對角化的實數矩陣?

11-3-2 複數不可對角化的實數矩陣?

11-4 複數本徵值的動力學?

11-4-1 複矩陣與複數的類同?

11-4-2 一個具有複數本徵值的(2 × 2)矩陣的動力學過程?

11-5 Jordan分解?

11-6 Jordan形式的矩陣理論基礎?

11-6-1 行空間、零核空間與Jordan標準基底?

11-6-2 Jordan點圖?

11-7 Jordan標準形式初探?

11-8 廣義本徵向量?

11-9 廣義本徵向量鏈?

11-10 方陣和Jordan標準形式的關係?

11-11 Jordan標準形式的演算法?

11-12 點圖與Jordan基底向量?

11-12-1 上面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式?

11-12-2 下面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式?

11-13 Jordan標準形式的演練?

11-14 Jordan形式的次冪運算?



第12章 奇異值分解?

12-1 奇異值分解的直覺定義?

12-2 SVD的演算法?

12-3 奇異值分解的演算與應用?

12-4 SVD和四個基本子空間?

12-5 奇異值分解的原理?

12-6 極分解?

12-6-1 右�左極分解?

12-7 廣義逆矩陣?

12-8 左逆矩陣和右逆矩陣、廣義逆矩陣?

12-8-1 左逆矩陣?

12-8-2 右逆矩陣?

12-8-3 廣義逆矩陣與四個基本向量子空間?

12-9 廣義線性模型?

12-9-1 簡單回歸和多元回歸?

12-9-2 線性最小方乘法問題的一般解?

12-9-3 最小範數解和最小平方誤差問題?

12-9-4 不完全確定方程組和過度確定的方程組?



參考資料?

索引