第一篇 微積分

第一章 微分? ?

1.1 微分的定義? ?

1.2 微分的方法? ?



第二章 積分? ?

2.1 積分的定義? ?

2.2 積分的方法? ?



第二篇 微分方程式

第一章 基本觀念? ?



第二章 一階常微分方程式? ?

2.1 變數分離法? ?

2.2 正合微分方程式? ?

2.3 積分因子? ?

2.4 一階齊次微分方程式? ?

2.5 含一次式之非齊次微分方程式? ?

2.6 一階線性微分方程式? ?

2.7 白努力方程式? ?

2.8 2.8 y = f(ax + by + c) 的形式

2.9 再談積分因子



第三章 常係數微分方程式? ?

3.1 二階常係數微分方程式的齊次解

3.2 二階常係數非齊次線性方程式

3.3 二階常係數非齊次線性方程式的特例

3.4 參數變換法

3.5 含初值的二階常係數微分方程式

3.6 高階微分方程式

3.7 微分運算子D?? ?

3.8 常係數線性微分方程組

3.9 電路學的應用



第四章 其他類型微分方程式? ?

4.1 Euler-Cauchy微分方程式

4.2??? Legendre線性常微分方程式

4.3??? 高次一階變係數微分方程式

4.4??? Clairaut方程式的求法

4.5??? 微分方程式無x項或無y項

4.6??? 冪級數法

?

附錄 證明用參數變換法求特解（求yp）



?

序



　　我利用「SOP閃通教學法」教我們系上的工程數學課，學生普遍反應良好。學生在期末課程問卷上，寫著「這堂課真的幫了大家不少，以為工數很難，但在老師的教導下，工數就跟小學的數學一樣的簡單，這真的都是拜老師所賜的呀！」「老師很厲害，把一科很不容易學會的科目，一一講解的很詳細。」「老師謝謝您，讓我重新愛上數學。」「高三那年我放棄了數學，自從上您的課後，開始有了變化，而且還有教學影片可以在家裡複習，重點是上課也很有趣。」「一直以來我的數學是學過就忘，難得有老師可以讓我學之後記得那麼久的。」「老師讓工程數學變得非常簡單。」我們的前工學院院長說：「林老師很不容易，將一科很硬的科目，教得讓學生滿意度那麼高。」



　　我也因而得到了：教育部105年師鐸獎、明新科大100、104、107、109學年度教學績優教師、技職教育熱血老師、私校楷模獎等。我的上課講義「微分方程式」、「拉普拉斯轉換」，分別申請上明新科大104、105年度教師創新教學計畫，並獲選為優秀作品。



　　很多理工商科的基本計算題，如：微積分、工程數學、電路學等，有些人看到題目後，就能很快地將它解答出來，這是因為很多題目的解題方法，都有一個標準的解題流程〔註〕（SOP，Standard sOlving Procedure），只要將題目的數據帶入標準解題流程內，就可以很容易地將該題解答出來。



　　現在很多老師都將這標準解題流程記在頭腦內，依此流程解題給學生看。但並不是每個學生看完老師的解題後，都能將此解題流程記在腦子裡。



　　SOP閃通教學法是：若能將此解題流程寫在黑板上，一步一步的引導學生將此題目解答出來，學生可同時用耳朵聽（老師）解題步驟、用眼睛看（黑板）解題步驟，則可加深學生的印象，學生只要按圖施工，就可以解出相類似的題目來。



　　SOP閃通教學法的目的就是要閃通，是將老師記在頭腦內的解題步驟用筆寫出來，幫助學生快速的學習，就如同：初學游泳者使用浮板、初學下棋者使用棋譜、初學太極拳先練太極十八式一樣，這些浮板、棋譜、固定的太極招式都是為了幫助初學者快速的學會游泳、下棋和太極拳，等學生學會了後，浮板、棋譜、固定的太極招式就可以丟掉了。SOP閃通教學法也是一樣，學會後SOP就可以丟掉了，之後再依照學生的需求，做一些變化題。



　　有些初學者的學習需要藉由浮板、棋譜、SOP等工具的輔助，有些人則不需要，完全是依據每個人的學習狀況而定，但最後需要藉由工具輔助的學生，和不需要工具輔助的學生都學會了，這就叫做「因材施教」。



　　我身邊有一些同事、朋友，甚至IEET教學委員們直覺上覺得數學怎能SOP？老師們會把解題步驟（SOP）記在頭腦內，依此解題步驟（SOP）教學生解題，我只是把解題步驟（SOP）寫下來，幫助學生學習，但我的經驗告訴我，對我的學生而言，寫下SOP的教學方式會比SOP記在頭腦內的教學方式好很多。



　　本書就是依據此原則所寫出來的。我利用此法寫一系列的數學套書，包含有：



　　1. 第一次學微積分就上手

　　2. 第一次學工程數學就上手(1)—微積分與微分方程式

　　3. 第一次學工程數學就上手(2)—拉氏轉換與傅立葉

　　4. 第一次學工程數學就上手(3)—線性代數

　　5. 第一次學工程數學就上手(4)—向量分析與偏微分方程式

　　6. 第一次學工程數學就上手(5)—複變數

　　7. 第一次學機率就上手

　　8. 工程數學SOP閃通指南（為《第一次學工程數學就上手》(1)∼(5)之精華合集）

　　9. 大學學測數學滿級分(I)(II)

　　10. 第一次學C語言入門就上手



　　它們的寫作方式都是盡量將所有的原理或公式的用法流程寫出來，讓讀者知道如何使用此原理或公式，幫助讀者學會一門艱難的工程數學。



　　最後，非常感謝五南圖書股份有限公司對此書的肯定，此書才得以出版。本書雖一再校正，但錯誤在所難免，尚祈各界不吝指教。