第 1 篇 基礎



1 萬物皆數

1.1 數字和運算：人類思想的偉大飛躍

1.2 數字分類：從複數到自然數

1.3 加減：最基本的數學運算

1.4 向量：數字排成行、列

1.5 矩陣：數字排列成長方形

1.6 矩陣： 一組列向量，或一組行向量

1.7 矩陣形狀：每種形狀都有特殊性質和用途

1.8 矩陣加減：形狀相同，對應位置，批次加減



2 乘除

2.1 算術乘除：先乘除，後加減，括號內先算

2.2 向量乘法：純量乘法、向量內積、逐項積

2.3 矩陣乘法：最重要的線性代數運算規則

2.4 矩陣乘法第一角度

2.5 矩陣乘法第二角度

2.6 矩陣除法：計算反矩陣



3 幾何

3.1 幾何緣起：根植大地，求索星空

3.2 點動成線，線動成面，面動成體

3.3 角度和弧度

3.4 畢氏定理到三角函式

3.5 圓周率估算初賽：割圓術



4 代數

4.1 代數的前世今生：薪火相傳

4.2 集合：確定的一堆東西

4.3 從代數式到函式

4.4 巴斯卡三角：代數和幾何的完美合體

4.5 排列組合讓二項式係數更具意義

4.6 巴斯卡三角隱藏的數字規律

4.7 方程式組：求解雞兔同籠問題



第 2 篇 座標系



5 笛卡兒座標系

5.1 笛卡兒：我思故我在

5.2 座標系：代數視覺化，幾何參數化

5.3 圖解「雞兔同籠」問題

5.4 極座標：距離和夾角

5.5 參數方程式：引入一個參數

5.6 座標系必須是「橫平垂直的方格」？



6 三維座標系

6.1 三維直角座標系

6.2 空間平面：三元一次方程

6.3 空間直線：三元一次方程組

6.4 不等式：劃定區域

6.5 三大類不等式：約束條件

6.6 三維極座標



第 3 篇 解析幾何



7 距離

7.1 距離：未必是兩點間最短線段

7.2 歐氏距離：兩點間最短線段

7.3 點到直線的距離

7.4 等距線：換個角度看距離

7.5 距離間的量化關係



8 圓錐曲線

8.1 圓錐曲線外傳

8.2 圓錐曲線：對頂圓錐和截面相交

8.3 正圓：特殊的橢圓

8.4 橢圓：機器學習的多面手

8.5 旋轉橢圓：幾何變換的結果

8.6 拋物線：不止是函式

8.7 雙曲線：引力彈弓的軌跡



9 深入圓錐曲線

9.1 圓錐曲線：探索星辰大海

9.2 離心率：聯繫不同類型圓錐曲線

9.3 一組有趣的圓錐曲線

9.4 特殊橢圓：和給定矩形相切

9.5 超橢圓：和範數有關

9.6 雙曲函式：基於單位雙曲線

9.7 圓錐曲線的一般形式



第 4 篇 函式



10 函式

10.1 當代數式遇到座標系

10.2 一元函式： 一個引數

10.3 一元函式性質

10.4 二元函式：兩個引數

10.5 降維：二元函式切一刀得到一元函式

10.6 等高線：由函式值相等點連成



11 代數函式

11.1 初等函式：數學模型的基礎

11.2 一次函式： 一條斜線

11.3 二次函式： 一條拋物線

11.4 多項式函式：從疊加角度來看

11.5 冪函式：底數為引數

11.6 分段函式：不連續函式



12 超越函式

12.1 指數函式：指數為引數

12.2 對數函式：把連乘變成連加

12.3 高斯函式：高斯分佈之基礎

12.4 邏輯函式：在0 和1 之間設定值

12.5 三角函式：週期函式的代表

12.6 函式變換：平移、縮放、對稱



13 二元函式

13.1 二元一次函式：平面

13.2 正圓拋物面：等高線為正圓

13.3 橢圓拋物面：等高線為橢圓

13.4 雙曲拋物面：馬鞍面

13.5 山谷和山脊：無數極值點

13.6 錐面：正圓拋物面開方

13.7 絕對值函式：與超橢圓有關

13.8 邏輯函式：從一元到二元

13.9 高斯函式：機器學習的多面手



14 數列

14.1 芝諾悖論：阿基里斯追不上烏龜

14.2 數列分類

14.3 等差數列：相鄰兩項差相等

14.4 等比數列：相鄰兩項比值相等

14.5 費氏數列

14.6 累加：大寫西格瑪

14.7 數列極限：微積分的一塊基石

14.8 數列極限估算圓周率



第 5 篇 微積分



15 極限和導數

15.1 牛頓小傳

15.2 極限：研究微積分的重要數學工具

15.3 左極限、右極限

15.4 幾何角度看導數：切線斜率

15.5 導數也是函式



16 偏導數

16.1 幾何角度看偏導數

16.2 偏導也是函式

16.3 二階偏導：一階偏導函式的一階偏導

16.4 二元曲面的駐點： 一階偏導為0



17 微分

17.1 幾何角度看微分：線性近似

17.2 泰勒級數：多項式函式近似

17.3 多項式近似和誤差

17.4 二元泰勒展開：用多項式曲面近似

17.5 數值微分：估算一階導數



18 積分

18.1 萊布尼茲：既生瑜，何生亮

18.2 從小車等加速直線運動說起

18.3 一元函式積分

18.4 高斯函式積分

18.5 誤差函式：S 型函式的一種

18.6 二重積分：類似二重求和

18.7 「偏積分」：類似偏求和

18.8 估算圓周率：牛頓法

18.9 數值積分：黎曼求積



19 最佳化入門

19.1 最佳化問題：尋找山峰、山谷

19.2 建構最佳化問題

19.3 約束條件：限定搜尋區域

19.4 一元函式的極值點判定

19.5 二元函式的極值點判定



第 6 篇 機率統計



20 機率入門

20.1 機率簡史：出身賭場

20.2 二元樹：一生二、二生三

20.3 拋硬幣：正反面機率

20.4 聊聊機率：向上還是向下

20.5 一枚質地不均勻的硬幣

20.6 隨機中有規律



21 統計入門

21.1 統計的前世今生：強國知十三數

21.2 散點圖：當資料遇到座標系

21.3 平均值：集中程度

21.4 標準差：離散程度

21.5 協方差：聯合變化程度

21.6 線性相關係數：線性關係強弱



第 7 篇 線性代數



22 向量

22.1 向量：有大小、有方向

22.2 幾何角度看向量運算

22.3 向量簡化距離運算

22.4 向量內積與向量夾角

22.5 二維到三維

22.6 投影：影子的長度



23 雞兔同籠1

23.1 從雞兔同籠說起

23.2 「雞」向量與「兔」向量

23.3 那幾隻毛絨耳朵

23.4 「雞兔」套餐

23.5 套餐轉換：基底轉換

23.6 豬引發的投影問題

23.7 黃鼠狼驚魂夜：「雞飛兔脫」與超定方程式組



24 雞兔同籠2

24.1 雞兔數量的有趣關係

24.2 試試比例函式： y = ax

24.3 最小平方法

24.4 再試試一次函式： y = ax +b

24.5 再探黃鼠狼驚魂夜：超定方程式組

24.6 統計方法求解回歸參數



25 雞兔同籠3

25.1 雞兔互變奇妙夜

25.2 第一角度：「雞/ 兔→雞」和「雞/ 兔→兔」

25.3 第二角度：「雞→雞/ 兔」和「兔→雞/ 兔」

25.4 連續幾夜雞兔轉換

25.5 有向量的地方，就有幾何

25.6 彩蛋

前言



　　感謝



　　首先感謝大家的信任。



　　作者僅是在學習應用資料科學和機器學習演算法時，多讀了幾本數學書，多做了一些思考和知識 整理而已。知者不言，言者不知。知者不博，博者不知。由於作者水準有限，斗膽把自己所學所思與大家分享，作者權當無知者無畏。希望大家在Github 多提意見，讓這套書成為作者和 讀者共同參與創作的作品。



　　特別感謝清華大學出版社的欒大成老師。從選題策劃、內容創作到裝幀設計，欒老師事無巨細、一路陪伴。每次與欒老師交流，都能感受到他對優質作品的追求、對知識分享的熱情。



　　出來混總是要還的



　　曾幾何時，考試是我們學習數學的唯一動力。考試是頭懸樑的繩，是錐刺股的錐。我們中的大多數人從小到大為各種考試埋頭題海，數學味同嚼蠟，甚至讓人恨之入骨。



　　數學所帶來了無盡的「折磨」。我們甚至恐懼數學，憎恨數學，恨不得一走出校門就把數學拋之腦後，老死不相往來。



　　可悲可笑的是，我們很多人可能會在畢業的五年或十年以後，因為工作需要，不得不重新學習微積分、線性代數、機率統計，悔恨當初沒有學好數學，甚至遷怒於教材和老師。



　　這一切不能都怪數學，值得反思的是我們學習數學的方法和目的。



　　再給自己一個學數學的理由



　　為考試而學數學，是被逼無奈的舉動。而為數學而數學，則又太過高尚而遙不可及。



　　相信對絕大部分的我們來說，數學是工具、是謀生手段，而非目的。我們主動學數學，是想用數學工具解決具體問題。



　　現在，這套書給大家一個「學數學、用數學」的全新動力– 資料科學、機器學習。



　　資料科學和機器學習已經深度融合到我們生活的各方面，而數學正是開啟未來大門的鑰匙。不是所有人生來都握有一副好牌，但是掌握「數學 + 程式設計 + 機器學習」的知識絕對是王牌。這次，學習數學不再是為了考試、分數、升學，而是投資時間、自我實現、面向未來。



　　未來已來，你來不來？



　　本書如何幫到你



　　為了讓大家學數學、用數學，甚至愛上數學，作者可謂頗費心機。在創作這套書時，作者儘量克服傳統數學教材的各種弊端，讓大家學習時有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。



　　為此，叢書在內容創作上突出以下幾個特點。



　　■ 數學 + 藝術——全彩圖解，極致視覺化，讓數學思想躍然紙上、生動有趣、一看就懂，同時提高大家的資料思維、幾何想像力、藝術感。



　　■ 零基礎——從零開始學習 Python 程式設計，從寫第一行程式到架設資料科學和機器學習應用，儘量將陡峭學習曲線拉平。



　　■ 知識網路——打破數學板塊之間的門檻，讓大家看到數學代數、幾何、線性代數、微積分、機率統計等板塊之間的聯繫，編織一張綿密的數學知識網路。



　　■ 動手——授人以魚不如授人以漁，和大家一起寫程式、創作數學動畫、互動App。



　　■ 學習生態——建構自主探究式學習生態環境「紙質圖書 + 程式檔案 + 視覺化工具+ 思維導圖」，提供各種優質學習資源。



　　■ 理論 + 實踐——從加減乘除到機器學習，叢書內容安排由淺入深、螺旋上升，兼顧理論和實踐；在程式設計中學習數學，學習數學時解決實際問題。



　　雖然本書標榜「從加減乘除到機器學習」，但是建議讀者朋友們至少具備高中數學知識。如果讀者正在學習或曾經學過大學數學（微積分、線性代數、機率統計），這套書就更容易讀懂了。



　　聊聊數學



　　數學是工具。錘子是工具，剪刀是工具，數學也是工具。



　　數學是思想。數學是人類思想高度抽象的結晶體。在其冷酷的外表之下，數學的核心實際上就是人類樸素的思想。學習數學時，知其然，更要知其所以然。不要死記硬背公式定理，理解背後的數學思想才是關鍵。如果你能畫一幅圖、用大白話描述清楚一個公式、一則定理，這就說明你真正理解了它。



　　數學是語言。就好比世界各地不同種族有自己的語言，數學則是人類共同的語言和邏輯。數學這門語言極其精準、高度抽象，放之四海而皆準。雖然我們中大多數人沒有被數學「女神 」選中，不能為人類對數學認知開疆擴土；但是，這絲毫不妨礙我們使用數學這門語言。就好比，我們不會成為語言學家，我們完全可以使用母語和外語交流。



　　數學是系統。代數、幾何、線性代數、微積分、機率統計、最佳化方法等，看似一個個孤島，實際上都是數學網路的一條條織線。建議大家學習時，特別關注不同數學板塊之間的聯繫，見樹，更要見林。



　　數學是基石。拿破崙曾說「數學的日臻完善和國強民富息息相關。」數學是科學進步的根基，是經濟繁榮的支柱，是保家衛國的武器，是探索星辰大海的航船。



　　數學是藝術。數學和音樂、繪畫、建築一樣，都是人類藝術體驗。透過視覺化工具，我們會在看似枯燥的公式、定理、資料背後，發現數學之美。



　　數學是歷史，是人類共同記憶體。「歷史是過去，又屬於現在，同時在指引未來。」數學是人類的集體學習思考，它把人的思維符號化、形式化，進而記錄、累積、傳播、創新、發展。從甲骨、泥板、石板、竹簡、木牘、紙草、羊皮卷冊、活字印刷、紙質書，到數字媒介，這一過程持續了數千年，至今綿延不息。



　　數學是無窮無盡的想像力，是人類的好奇心，是自我挑戰的毅力，是一個接著一個的問題，是看似荒誕不經的猜想，是一次次膽大包天的批判性思考，是敢於站在前人臂膀之上的勇氣，是孜孜不倦地延展人類認知邊界的不懈努力。



　　家園、詩、遠方



　　諾瓦利斯曾說：「哲學就是懷著一種鄉愁的衝動到處去尋找家園。」



　　在紛繁複雜的塵世，數學純粹得就像精神的世外桃源。數學是，一束光，一條巷，一團不滅的希望，一股磅?的力量，一個值得寄託的避風港。



　　打破陳腐的鎖鏈，把功利心暫放一邊，我們一道懷揣一分鄉愁，心存些許詩意，踩著藝術維度，投入數學張開的臂膀，駛入它色彩斑斕、變幻無窮的深港，感受久違的歸屬，一睹更美、更好的遠方。