序───3



第一章?幾何學入門

1-1?幾何是從哪裡來的？意義為何？

1-2?《幾何原本》的「點」、「線」、「面」

1-3?提高一個次元，解題立刻變簡單？

1-4?圓為什麼是360°？弧度又是什麼？

1-5?平行線竟然會相交…反思解題法！

1-6?簡化「內角和180°」的證明方法！

1-7?以轉鉛筆法測量角度

專欄：質疑歐幾里得？「幾何學中有帝王之路」的異想！



第二章?幾何的基礎在「變形」

2－1為什麼長方形面積是長×寬呢？

2－2面積不變，變成簡單的圖形

2－3改變形狀，簡化題目

2－4從三角形面積導出「數列公式」

2－5用面積思考鶴龜算，題目立刻變簡單

2－6食鹽水的濃度也能以面積法求出？

2－7蜂巢與狄利克雷圖

2－8三角形很堅固，四邊形比較弱

專欄：1796年3月30日發生的事情，解決了高斯對未來的煩惱



第三章?挑戰！不可思議的圓與π

3－1測量曲線的土地面積

3－2古埃及是用正方形來求圓面積？

3－3向萊因德紙草書的圓面積問題挑戰！

3－4用阿基米德窮盡法計算圓周率

3－5以直覺認識「圓的面積」

3－6 以重量求出圓周率的新方法！

3－7用牙籤求圓周率─布豐投針

3－8試證明圓周率比3.1大…

3－9內圓周和外圓周相差多少？

3－10克卜勒之從樸實的窮盡法發現了大世界！

專欄：阿基米德故意把錯誤的定理寫在信裡…



第四章?畢達哥拉斯定理與三角函數的智慧

4－1畢達哥拉斯定理是幾何學瑰寶！

4－2「無理數」誕生於幾何世界

4－3土地測量師與直角三角形

4－4頭腦體操：畢達哥拉斯定理的證明

4－5用三角形記憶sin、cos、tan

4－6運用廣泛的正弦定理、餘弦定理

4－7用木工角尺計算路徑

專欄：畢達哥拉斯「派」定理？



第五章輕輕鬆鬆學會體積

5－1三角錐是角柱的1/3，實際體驗！

5－2卡瓦列里原理

5－3用卡瓦列里原理求出球體積！

5－4如何計算球的表面積

5－5推論地球的重量

5－6用圓頂平台求山的體積！

專欄：關孝和─將日本獨有的和算，提高至世界級



第六章圓形的全等與相似

6－1全等與相似的誤解

6－2三角形的全等條件與相似條件

6－3利用相似測量金字塔高度

6－4以「空間圖形比」求出金字塔高度

6－5用棉紙測量樹的高度

6－6拋物線皆相似

6－7線對稱、點對稱

6－8徽章設計的對稱性問題

專欄：數學家泰勒斯的智慧



第七章用積分求曲線面積

7－1估計數學島的面積

7－2數學島的真正面積

7－3曲線和直線所包圍的面積

7－4以積分算「區間」面積

7－5以積分計算Xn

7－6用切片來計算體積

7－7用積分求迴轉物體的體積

7－8證明圓錐體積「恰好是圓柱的1/3」

專欄：牛頓是「最後的蘇美人」？



第八章不可思議的「幾何宇宙」

8－1拓樸學是橡膠幾何學

8－2變形地圖是「切近本質」的拓樸學發想

8－3以「一筆畫發想」解開艱深問題

8－4「非歐幾里德」的新式幾何學

8－5拒絕菲爾茲獎與一百萬美元的數學家

8－6碎形為「自我相似」的幾何學

專欄：歐拉給公主的信－「幾何學中的帝王之路」

索引

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序



　　大學時期，我（岡部）的指導教授田村一郎老師，每當遇到學生無法充分理解，或感覺似懂非懂的問題時，總會說「現在我們把遇到的問題，用畫圖來表示看看吧」。



　　雖然老師這麼說，但我在當時的研究小組裡所遇到的問題，都是超過四次元空間，即使可以理解題目的意義，也難以輕易在二次元的紙或黑板上表現出來。



　　但是我認為，透過「以畫圖表示」的程序，將複雜的內容具體化，學習者就可以由此學會「將問題簡化」的能力。



　　回溯數學的歷史，一般認為，數學是起源於算數與圖形的分析，因為這樣的緣故，「數學＝幾何學（或哲學）」的觀念，普遍存在於數學有突破性發展的古希臘時代。



　　歐幾里得（西元前300年左右）統合了所有關於幾何的研究討論，寫成論著《歐幾里得幾何原本》。十七世紀初期，利瑪竇與徐光啟在中國翻譯此書，將《歐幾里得幾何原本》定名為《幾何原本》，《幾何原本》因此成為幾何學的濫觴，長久以來一直是世界數學教育的主流。幾何學對於科學具有很重要的支持作用。



　　但實際上，《幾何原本》中寫及的不僅只有幾何，其中還有三成以上是屬於現代的數論或方程式。



　　例如，質數有無限多個， 是無理數的證明，以及求取最大公因數的輾轉相除法，多是大家都曾聽說過的著名理論。



　　在《幾何原本》中，就以出現將數以線段的方式表現。在畢達哥拉斯定理中，以a代表邊長，則正方形面積為a2，這種「以幾何方式處理」的概念，則一貫應用到現在。



　　這些概念之所以能持續累積至今，正在於「以畫圖表示＝理解」的形式，將幾何與解題連結在一起。



　　高斯曾說過：「數論是數學的皇后。」若他的說法為真，那麼幾何便是數學的國王。只要能善用幾何，便能從基礎開始，輕鬆了解數學。



　　這本書是為了讓大家都能品嘗以幾何解題的樂趣而書寫的作品，幾何的圖形特質，以漫畫形式來表現，我認為更是妙趣橫生。



　　文章的最後，感謝宮島麻衣女士為我們繪製了妙趣橫生的漫畫，長谷川愛美女士為我們設計版面，並在此向推薦我們執筆，科學書籍編輯部益田賢治先生與石井顯一先生，致上誠摯的謝意。



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