香港二樓書店 > 大域微分幾何（上）：Riemannn幾何基礎（二版）

引言

大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）

　　像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。

　　Sect. 1 較早的脈絡

　　1.1 白話

　　寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。

　　什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。

　　以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。

　　一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問「什麼時候空間是平直？」而發現：「某個張量是否等於＄0＄？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。

　　「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。

　　根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。

　　為了考慮二階變分等於＄0＄的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。

　　如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛（conjugate）。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定（stable），當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。

　　所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi?場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。

　　當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。

　　1.2 零四講稿

　　這部書（以下有時稱本書）有：

　　上卷　前篇A、B、C三章

　　篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12

　　中卷　篇四到篇六，含Ch.13--Ch.21

　　下卷　篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30

　　衍篇　三文

　　它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。

　　零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度（metric），才成為Riemann流形。

　　可微流形最根本的出發點是維數（dimension）。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章C，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。

　　

　　很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。

　　一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincare-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。

　　零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。

　　1.3 大域與局部

　　大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。

　　關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8]。

　　Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincare的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數（index），這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincare的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。

　　其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。

　　在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。

　　Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。

　　我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。

　　這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。

　　事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。

　　這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學（calculus of variations in geometry）是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。

二版序

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

　　1、

　　這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

　　雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們?讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

　　另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。

　　2、

　　初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

　　今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。

　　目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。

　　但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。

　　中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

　　我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，?明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。

　　3、

　　眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。

　　這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。

　　我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。

　　但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。

　　這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。

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