第一章 微積分的簡史

1-1 前言

1-2 簡單說明微積分

1-3 微積分的教學順序

1-4 積分的歷史

1-5 微積分的歷史

1-6 微積分發明人的世紀之爭

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第二章 極限

2-1 從金門高粱酒說起

2-2 極限

2-3 收斂與發散

2-4 極限計算與Sympy 模組

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第三章 斜率

3-1 直線的斜率

3-2 斜率的意義

3-3 曲線的斜率

3-4 切線

3-5 將極限觀念應用在斜率

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第四章 微分的基本觀念

4-1 微分的數學觀念

4-2 微分的計算

4-3 微分公式的推導

4-4 微分的基本性質

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第五章 用微分找出極大值與極小值

5-1 用微分求二次函數的頂點

5-2 體會二次函數與斜率的關係

5-3 用切線繪製二次函數

5-4 繩索圍起最大的矩形面積

5-5 使用微分計算臉書行銷業績最大化

5-6 微分找尋極值不一定適用所有函數

5-7 微分與Sympy 模組

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第六章 積分基礎

6-1 積分原理

6-2 積分的計算

6-3 積分符號

6-4 積分意義的圖解說明

6-5 反導函數

6-6 不定積分

6-7 定積分

6-8 體會積分的功能

6-9 計算2 個函數所圍住的面積

6-10 積分性質

6-11 使用微積分應用在時間與距離的運算

6-12 Python 實作使用scipy.optimize

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第七章 積分求體積

7-1 簡單立方體積的計算

7-2 計算截面積呈現函數變化的體積

7-3 使用微積分推導與驗證圓面積的公式

7-4 使用微積分推導與驗證球體積與表面積的公式

7-5 使用積分推導圓錐的體積

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第八章 合成函數的微分與積分

8-1 合成函數的基礎觀念

8-2 鏈鎖規則的觀念

8-3 合成函數的萊布尼茲表示法與運算觀念

8-4 合成函數的微分推導

8-5 合成函數的積分

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第九章 指數函數與對數函數的微分與積分

9-1 指數的微分

9-2 指數的積分

9-3 對數的微分與思考

9-4 對數的積分

9-5 非整數次方的微分與積分

9-6 指數與對數的幾個微分與積分的性質說明

9-7 邏輯函數的微分

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第十章 簡單微分方程式的應用

10-1 商品銷售分析

10-2 數學模型的基礎假設

10-3 公式推導

10-4 代換積分和對數積分的觀念應用

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第十一章 機率密度函數

11-1 了解需求

11-2 三角形分佈的機率密度函數

11-3 使用幾何學計算三角形的機率密度分佈

11-4 計算90% 可以完工的天數

11-5 將積分應用在計算機率密度函數

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第十二章 概似函數與最大概似估計

12-1 基礎觀念

12-2 找出概似函數

12-3 進一步認識概似函數

12-4 使用微分計算概似最大估計

12-5 將對數觀念應用在概似函數

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第十三章 常態分佈的機率密度函數

13-1 認識常態分佈機率密度函數

13-2 高斯常態分佈的假設

13-3 推導常態分佈

13-4 機率密度總和是1

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第十四章 多重積分

14-1 多重積分的基礎觀念

14-2 極坐標的觀念

14-3 圓周弧長的觀念

14-4 使用雙重積分推導常態分佈機率密度函數

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第十五章 基礎偏微分

15-1 認識偏微分

15-2 實務數據到多變數函數

15-3 多變數函數的偏微分

15-4 解聯立方程式

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第十六章 將偏微分應用在解向量方程式

16-1 將數據轉成向量方程式

16-2 對多變數函數做偏微分

16-3 解聯立方程式

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第十七章 將偏微分應用在矩陣運算

17-1 對矩陣做偏微分

17-2 向量對向量做偏微分

17-3 偏微分運算的性質

17-4 偏微分的矩陣運算在最小平方法的應用

17-5 Python 計算矩陣運算

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第十八章 使用多元迴歸分析最大概似估計法

18-1 多元迴歸的誤差計算

18-2 推導誤差的機率密度函數

18-3 推導最小平方法與最大概似估計法的關係

18-4 最大概似估計法實作

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第十九章 梯度下降法

19-1 斜率與梯度

19-2 損失函數

19-3 梯度下降法

19-4 簡單數學實例

19-5 用手計算裝潢新居的時間

19-6 Python 程式實作計算裝潢新居的時間

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第二十章 深度學習的層次基礎知識

20-1 深度學習基礎知識

20-2 用迴歸模擬多層次的深度學習

20-3 認識深度學習的隱藏層符號

20-4 認識權重編號

20-5 輸出層的推導

20-6 隱藏層的推導

20-7 隱藏層的推導

20-8 最後的輸出層

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第二十一章 激活函數與梯度下降法

21-1 常見的激活函數

21-2 Sigmoid 函數的非線性數學模型

21-3 網購實例

21-4 推導對數概似函數

21-5 使用梯度下降法推導迴歸係數

21-6 計算網路回購率

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第二十二章 使用Sigmoid 函數建立近似函數

22-1 銷售蘋果實務與非線性分析

22-2 蘋果數據分析

22-3 使用Sigmoid 函數建立上升趨勢線

22-4 使用Sigmoid 函數建立品質大於4.4 的下降趨勢線

22-5 將上升趨勢線與下降趨勢線相加

22-6 製作山峰和山谷函數

22-7 組合符合特徵的近似函數

22-8 將曲線近似函數與銷售數據結合

22-9 將近似函數代入神經網路架構

22-10 使用線性函數擬合數據

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第二十三章 人工神經網路的數學

23-1 回顧近似函數

23-2 解釋隱藏層基本數學表達式

23-3 推導輸入層到隱藏層

23-4 進一步推導隱藏層

23-5 推導隱藏層到輸出層公式

23-6 觀念擴充 – 推估蘋果是否能售出

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第二十四章 反向傳播法

24-1 合成函數微分鏈鎖法的複習

24-2 將合成函數微分擴展到偏微分

24-3 將鏈鎖法應用到更多層的合成函數

24-4 反向傳播的實例

24-5 套入非線性函數的反向傳播的實例

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序



　　本書第一版上市後，因為淺顯易懂獲得許多讀者的好評。同時也感謝張慶暉博士針對本書提供微積分專有名詞上的指導與建議，以及錯誤的修訂。此外，第二版22 章也針對蘋果銷售數據以線性函數重新設計與執行，最後將線性函數的執行結果與原先非線性Sigmoid 函數的數據擬合做比較，讀者可以更進一步了解非線性函數在機器學習領域的重要性。



　　近幾年每當無法入眠時，只要拿起人工智能、機器學習或深度學習的書籍，看到複雜的數學公式可以立即進入夢鄉，這些書籍成為我的安眠藥。心中總想寫一本可以讓擁有高中數學程度即可看懂人工智能、機器學習或深度學習的書籍，或是說看了不會想睡覺的機器學習書籍，這個理念成為我撰寫這本書籍很重要的動力。所以這本書籍最大特色如下：

　　√微積分原理從 0 開始解說

　　√彩色圖解微積分的架構思維

　　√微積分解說生活實例，例如：賽車、西班牙鬥牛、金門高粱酒的稀釋

　　√手工推導與計算微積分公式

　　√彩色圖例解說機器學習與微積分的關聯

　　√大部分觀念皆會使用 Python 程式實作



　　在徹底研究機器學習後，筆者體會許多基礎數學與微積分不是不會與艱難而是生疏了，如果機器學習的書籍可以將複雜公式與理論從基礎開始一步一步推導，配合Python 程式實例解說其實可以很容易帶領讀者進入這個領域，同時感受基礎數學與微積分不再如此艱澀，這也是我撰寫本書時時提醒自己要留意的事項。



　　研究機器學習雖然有很多模組可以使用，但是如果不懂相關數學原理，坦白說筆者不會相信未來你在這個領域會有所成就，這本書講解筆者從最基礎的微積分起源開始講起，然後依次講解下列與機器學習相關的微積分與高等數學的基本知識，當然全書也搭配約93 個程式實例，全力協助讀者進入現代科技的顯學機器學習。

　　√極限

　　√斜率

　　√用微分找出極值

　　√認識積分

　　√積分求面積與體積

　　√合成函數的微分與積分

　　√指數的微分與積分

　　√對數的微分與積分

　　√簡單的微分方程式

　　√機率密度函數

　　√概似函數與最大概似估計

　　√多重積分

　　√認識偏微分

　　√將偏微分應用在解向量方程式

　　√將偏微分應用在矩陣運算

　　√多元迴歸與概似估計

　　√梯度下降法

　　√深度學習的層次基礎知識

　　√激勵函數與梯度下降法

　　√非線性函數與神經網路

　　√神經網路的數學

　　√反向傳播法與神經網路的 Python 實例



　　寫過許多的電腦書著作，本書沿襲筆者著作的特色，程式實例豐富，相信讀者只要遵循本書內容必定可以在最短時間精通機器學習的基礎數學，編著本書雖力求完美，但是學經歷不足，謬誤難免，尚祈讀者不吝指正。