第 1 章 緒 論 20?

☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22?

☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24?

☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？ ................................. 26?

☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29?

☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30?

☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32?

☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33?

☆ 1.8 把數學口語化 ....................................... 34?



第 2 章 數學是宇宙的真理 36?

☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？ ................................... 38?

☆ 2.2 數學是一種偉大的思維 ................................. 40?

☆ 2.3 在「答案」背後的意義.................................. 42?

☆ 2.4 數學是美也是真理 ..................................... 43?

☆ 2.5 數值在歷史上的迷思 ................................... 45?

☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧 ................................... 46?

☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理 ................................. 48?

☆ 2.8 數學之唯美 ....................................... 52?

☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大 ................................... 54?

☆ 2.10 世界上最美的方程式 ................................... 56?

☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式 ........................... 57?

☆ 2.12 思維的特質使人成為天才 ............................... 61?



第 3 章 大自然的曼妙哲學與原理 64?

☆ 3.1 脫離傳統的制度 ....................................... 66?

☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她 ............................... 68?

☆ 3.3 偉大的生命曲線 ....................................... 72

☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係 ........................... 75?

☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ....................................... 78?

☆ 3.6 【典範範例】集錦...................................... 80?

【★★★典範範例 3-01】 ................................. 80?

【★★★典範範例 3-02】 ................................. 84?

【★★★典範範例 3-03】 ................................. 87?

【★★★典範範例 3-04】 ................................. 88?

【★★★典範範例 3-05】 ................................. 90?

【★★★典範範例 3-06】 ................................. 91?

【★★★典範範例 3-07】 ................................. 93?

【★★★★典範範例 3-08】[ 研究與分析 ] ................... 94?



第 4 章 從微積分的思維說起 98?

☆ 4.1 人們自古就喜歡算命 .................................. 100?

☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問 ...................... 101?

☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道 .......................... 103?

☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問 ................ 107?

☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了 ............................ 110?

☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？ .............................. 111?

☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析 ........................ 113?

【★★★問題與研究】 .................................. 115?

☆ 4.8 直線的積分會是什麼？ ................................ 117?

【★★★問題與研究】 .................................. 118?

☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？ ............................ 119?

【★★★問題與研究】 .................................. 122?



第 5 章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 126?

☆ 5.1 人類因幻想而偉大 .................................... 128?

☆ 5.2 來到那「極限」的地方 ................................ 129?

☆ 5.3 你知道 1=2 的悖論嗎？ ................................ 131?

☆ 5.4 極限 (limits) 的問題與思維 ........................... 133?

☆ 5.5 【典範範例】集錦..................................... 136

【★★★典範範例 5-01】 ................................ 136?

【★★★典範範例 5-02】 ................................ 137?

【★★★典範範例 5-03】 ................................ 138?

【★★★典範範例 5-04】 ................................ 140?

【★★★典範範例 5-05】 ................................ 141?

【★★★典範範例 5-06】 ................................ 143?

【★★★典範範例 5-07】 ................................ 145?

【★★★★典範範例 5-08】 [ 研究與分析 ] ................ 146?

【★★★★典範範例 5-09】 [ 研究與分析 ] ................ 150?

【★★★★典範範例 5-10】 [ 研究與分析 ] ................ 152?

【★★★★典範範例 5-11】 [ 研究與分析 ] ................ 155?

【★★★★典範範例 5-12】 [ 研究與分析 ] ................ 157?



第 6 章 微分究竟想做什麼？ 160?

☆ 6.1 讀書的學問之道 ...................................... 162?

☆ 6.2 事情永遠都在變化 .................................... 164?

☆ 6.3 微分是求微量的因果之道 .............................. 165?

☆ 6.4 進一步的談導數與微分 ................................ 168?

☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道 ...................... 170?

☆ 6.6 數學中的微分方法 .................................... 171?

☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道 ...................... 172?

☆ 6.8 【典範範例】集錦..................................... 179?

【★★★典範範例 6-01】 ................................ 179?

【★★★典範範例 6-02】 ................................ 181?

【★★★★典範範例 6-03】 [ 研究與分析 ] ................ 184?

【★★★★典範範例 6-04】 [ 研究與分析 ] ................ 186?

【★★★★典範範例 6-05】 [ 研究與分析 ] ................ 189?

【★★★★典範範例 6-06】 [ 研究與分析 ] ................ 194?

【★★★★典範範例 6-07】 [ 研究與分析 ] ................ 197?

【★★★★典範範例 6-08】 [ 研究與分析 ] ................ 199?

【★★★★典範範例 6-09】 [ 研究與分析 ] ................ 204?

【★★★★典範範例 6-10】 [ 研究與分析 ] ................ 209



第 7 章 奇特的三角函數微分 212?

☆ 7.1 世界上最實用的科學 .................................. 214?

☆ 7.2 基本三角函數的微分 .................................. 216?

☆ 7.3 為什麼 sin(x) 的微分是 cos(x) 呢？ .................... 217?

☆ 7.4 為什麼 cos(x) 的微分卻是 -sin(x) 呢？ ................. 221?

☆ 7.5 綜合型三角函數的微分 ................................ 223?

☆ 7.6 【典範範例】集錦..................................... 225?

【★★★典範範例 7-01】 ................................ 225?

【★★★典範範例 7-02】 ................................ 227?

【★★★典範範例 7-03】 ................................ 229?

【★★★★典範範例 7-04】[ 研究與分析 ] .................. 231?

【★★★★典範範例 7-05】[ 研究與分析 ] .................. 234?

【★★★★典範範例 7-06】[ 研究與分析 ] .................. 237?

【★★★★典範範例 7-07】[ 研究與分析 ] .................. 242?

【★★★★典範範例 7-08】[ 研究與分析 ] .................. 246?

【★★★★典範範例 7-09】[ 研究與分析 ] .................. 249?

【★★★★典範範例 7-10】[ 研究與分析 ] .................. 254?

【★★★★典範範例 7-11】[ 研究與分析 ] .................. 259?



第 8 章 為大自然說話的曲線 264?

☆ 8.1 大自然的生命道理 .................................... 266?

☆ 8.2 用白話文講「指數」 .................................. 269?

☆ 8.3 自然指數在數學上的定義 .............................. 270?

☆ 8.4 指數運算定律 ...................................... 271?

☆ 8.5 指數函數的特性曲線 .................................. 273?

☆ 8.6 這個 e=2.71828 是什麼意思？ .......................... 274?

☆ 8.7 「對數」是什麼意思？ ................................ 275?

☆ 8.8 用白話文講「對數」 .................................. 277?

☆ 8.9 【典範範例】集錦..................................... 279?

【★★★典範範例 8-01】 ................................ 279?

【★★★典範範例 8-02】 ................................ 281?

【★★★典範範例 8-03】 ................................ 282

【★★★典範範例 8-04】 ................................ 284?

【★★★典範範例 8-05】 ................................ 285?

【★★★★典範範例 8-06】 [ 研究與分析 ] ................ 287?

【★★★★典範範例 8-07】 [ 研究與分析 ] ................ 289?

【★★★★典範範例 8-08】 [ 研究與分析 ] ................ 291?

【★★★★典範範例 8-09】 [ 研究與分析 ] ................ 294?

【★★★★典範範例 8-10】 [ 研究與分析 ] ................ 295?

【★★★★典範範例 8-11】 [ 研究與分析 ] ................ 298

?【★★★★典範範例 8-12】 [ 研究與分析 ] ................ 301?

【★★★★典範範例 8-13】 [ 研究與分析 ] ................ 304?



第 9 章 用白話文講指數與對數的微分 308

☆ 9.1 再用白話文講「指數」 ................................ 310?

☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義 ............................ 312?

☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤 ........................ 314?

☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍 .......................... 315?

☆ 9.5 指數微分與符號法則 .................................. 317?

☆ 9.6 什麼是對數函數 ...................................... 318?

☆ 9.7 如何口語化數學 ...................................... 319?

☆ 9.8 口語化的「對數」函數 ................................ 320?

☆ 9.9 奇妙的對數微分 ...................................... 324?

☆ 9.10 【典範範例】集錦..................................... 326?

【★★★典範範例 9-01】[ 研究與分析 ] .................... 326?

【★★★典範範例 9-02】 ................................ 329?

【★★★典範範例 9-03】 ................................ 331?

【★★★典範範例 9-04】 ................................ 332?

【★★★典範範例 9-05】 ................................ 334?

【★★★★典範範例 9-06】[ 研究與分析 ] .................. 337?

【★★★★典範範例 9-07】[ 研究與分析 ] .................. 340?

【★★★★典範範例 9-08】[ 研究與分析 ] .................. 343?

【★★★★典範範例 9-09】[ 研究與分析 ] .................. 345?

【★★★★典範範例 9-10】[ 研究與分析 ] .................. 349?

【★★★★典範範例 9-11】[ 研究與分析 ] .................. 353?

【★★★★典範範例 9-12】[ 研究與分析 ] .................. 356?

【★★★★典範範例 9-13】[ 研究與分析 ] .................. 358

【★★★★典範範例 9-14】[ 研究與分析 ] .................. 362?

【★★★★典範範例 9-15】[ 研究與分析 ] .................. 365?

【★★★★典範範例 9-16】[ 研究與分析 ] .................. 368?



第 10 章 積分究竟是什麼？ 376?

☆ 10.1 積分的究竟思維 ...................................... 378?

☆ 10.2 積分在數學上的意義 .................................. 380?

☆ 10.3 積分有什麼用呢？ .................................... 384?

☆ 10.4 【典範範例 -1】介於直線之間的面積.................... 386?

☆ 10.5 【典範範例 -2】介於曲線之間的面積.................... 391?

☆ 10.6 積分的進階思維 ...................................... 394?

☆ 10.7 多重積分的意義 ...................................... 397?

☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？ .......................... 401?

☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？ ...................... 404?

☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？ ...................... 405?

☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積 ................................ 409?

☆ 10.12 【典範範例】集錦..................................... 411?

【★★★典範範例 10-01】 ............................... 411?

【★★★典範範例 10-02】 ............................... 413?

【★★★典範範例 10-03】 ............................... 414?

【★★★典範範例 10-04】 ............................... 416?

【★★★典範範例 10-05】 ............................... 417?

【★★★典範範例 10-06】[ 研究與分析 ] ................... 419?

【★★★典範範例 10-07】[ 研究與分析 ] ................... 422?

【★★★典範範例 10-08】[ 研究與分析 ] ................... 425?

【★★★典範範例 10-09】[ 研究與分析 ] ................... 428?

【★★★典範範例 10-10】[ 研究與分析 ] ................... 432?

【★★★典範範例 10-11】[ 研究與分析 ] ................... 434?



第 11 章 用白話文講對數與指數的積分 438?

☆ 11-1 什麼是指數與自然指數 ................................ 440?

☆ 11.2 指數的基本運算與積分 ................................ 441

☆ 11.3 還是一條不死的龍 .................................... 442?

☆ 11.4 口語化的指數與對數關係 .............................. 445?

☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義 .......................... 448?

☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式 ............................ 449?

☆ 11.7 【典範範例】集錦..................................... 450?

【★★★典範範例 11-01】[ 研究與分析 ] ................... 450?

【★★★典範範例 11-02】[ 研究與分析 ] ................... 454?

【★★★典範範例 11-03】[ 研究與分析 ] ................... 456?

【★★★典範範例 11-04】[ 研究與分析 ] ................... 458?

【★★★典範範例 11-05】[ 研究與分析 ] ................... 460?

【★★★★典範範例 11-06】[ 研究與分析 ] ................. 462?

【★★★★典範範例 11-07】[ 研究與分析 ] ................. 465?

【★★★★典範範例 11-08】[ 研究與分析 ] ................. 467?

【★★★★典範範例 11-09】[ 研究與分析 ] ................. 469?

【★★★★典範範例 11-10】[ 研究與分析 ] ................. 471?

【★★★★典範範例 11-11】 ............................. 473?

【★★★★典範範例 11-12】[ 研究與分析 ] ................. 476?

【★★★★典範範例 11-13】[ 研究與分析 ] ................. 480?

【★★★★典範範例 11-14】[ 研究與分析 ] ................. 484?

【★★★★典範範例 11-15】[ 研究與分析 ] ................. 486?



第 12 章 卓越的三角函數積分 490?

☆ 12.1 三角學是大自然的祕密 ................................ 492?

☆ 12.2 從天文到地理 ...................................... 493?

☆ 12.3 三角函數的數值觀念 .................................. 494?

☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品 .......................... 496?

☆ 12.5 三角函數的相關公式 .................................. 498?

☆ 12.6 【典範範例】集錦..................................... 499?

【★★★典範範例 12-01】[ 研究與分析 ] ................... 499?

【★★★典範範例 12-02】[ 研究與分析 ] ................... 502?

【★★★★典範範例 12-03】[ 研究與分析 ] ................. 505?

【★★★★典範範例 12-04】[ 研究與分析 ] ................. 508?

【★★★★典範範例 12-05】[ 研究與分析 ] ................. 512?

【★★★★典範範例 12-06】[ 研究與分析 ] ................. 518?

【★★★★典範範例 12-07】[ 研究與分析 ] ................. 521

【★★★★典範範例 12-08】[ 研究與分析 ] ................. 523?

【★★★★典範範例 12-09】[ 研究與分析 ] ................. 528?

【★★★★典範範例 12-10】[ 研究與分析 ] ................. 533?



第 13 章 特異的奇函數與偶函數 540?

☆ 13.1 不可不知的函數對消作用 .............................. 542?

☆ 13.2 奇函數的定義 ...................................... 543?

☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？......................... 544?

☆ 13.4 偶函數的定義 ...................................... 545?

☆ 13.5 由一半而推知另一半 .................................. 547?

☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能 ............................ 549?

☆ 13.7 【典範範例】集錦..................................... 552?

【★★★典範範例 13-01】[ 研究與分析 ] ................... 552?

【★★★典範範例 13-02】[ 研究與分析 ] ................... 555

【★★★★典範範例 13-03】[ 研究與分析 ] ................. 557?

【★★★★典範範例 13-04】[ 研究與分析 ] ................. 558?

【★★★★典範範例 13-05】[ 研究與分析 ] ................. 561?

【★★★★典範範例 13-06】[ 研究與分析 ] ................. 563?



第 14 章 高階的面積分與體積分 568?

☆ 14.1 積分的進階思維 ...................................... 570?

☆ 14.2 不規則平面面積之處理 ................................ 573?

☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積 ................................ 575?

☆ 14.4 如何計算物體之體積 .................................. 578?

☆ 14.5 圓盤法 (circular-disk method) ........................ 580?

☆ 14.6 柱殼法 (cylindrical shell method) .................... 584?

☆ 14.7 【典範範例】集錦..................................... 587?

【★★★典範範例 14-01】 ............................... 587?

【★★★典範範例 14-02】 ............................... 588?

【★★★典範範例 14-03】 ............................... 590?

【★★★典範範例 14-04】 ............................... 592?

【★★★典範範例 14-05】 ............................... 594

【★★★典範範例 14-06】 ............................... 596?

【★★★典範範例 14-07】 ............................... 598?

【★★★典範範例 14-08】 ............................... 600?

【★★★★典範範例 14-09】 ............................. 602?

【★★★★典範範例 14-10】 ............................. 604?

【★★★★典範範例 14-11】 ............................. 607?

【★★★★典範範例 14-12】 ............................. 609?

【★★★★典範範例 14-13】 ............................. 613?

【★★★★典範範例 14-14】 ............................. 616?

【★★★★典範範例 14-15】 ............................. 623?

【★★★★典範範例 14-16】 ............................. 626?

【★★★★典範範例 14-17】 ............................. 629?

【★★★★典範範例 14-18】 ............................. 631?

【★★★★典範範例 14-19】 ............................. 633?

【★★★★典範範例 14-20】 ............................. 635?

【★★★★典範範例 14-21】 ............................. 638?



第 15 章 進入虛幻世界 640?

☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？ ............................ 642?

☆ 15.2 在實數中無解的問題 .................................. 644?

☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案 .................... 645?

☆ 15.4 宇宙中最大的數系 .................................... 647?

☆ 15.5 複數平面的運算 ...................................... 649?

☆ 15.6 複變數的微分 ...................................... 651?

☆ 15.7 複變數的積分 ...................................... 652?

☆ 15.8 【典範範例】集錦..................................... 653?

【★★★典範範例 15-01】 ............................... 653?

【★★★典範範例 15-02】 ............................... 653?

【★★★典範範例 15-03】 ............................... 654?

【★★★典範範例 15-04】 ............................... 655?

【★★★★典範範例 15-05】[ 研究與分析 ] ................. 656?

【★★★★典範範例 15-06】[ 研究與分析 ] ................. 657?

【★★★★典範範例 15-07】[ 研究與分析 ] ................. 659?

【★★★★典範範例 15-08】[ 研究與分析 ] ................. 662?

【★★★★典範範例 15-09】[ 研究與分析 ] ................. 663

【★★★★典範範例 15-10】[ 研究與分析 ] ................. 666?

【★★★★典範範例 15-11】[ 研究與分析 ] ................. 668?

【★★★★典範範例 15-12】[ 研究與分析 ] ................. 669?

【★★★★典範範例 15-13】[ 研究與分析 ] ................. 670?

【★★★★典範範例 15-14】[ 研究與分析 ] ................. 671?

【★★★★典範範例 15-15】[ 研究與分析 ] ................. 673?

【★★★★典範範例 15-16】[ 研究與分析 ] ................. 674